√7の有理数近似

\sqrt{7}   の有理数近似に関する興味深い整数問題をご紹介します.

(2017年2月21日更新)

 

問題

正整数 a, b   が \displaystyle \frac{a}{b} < \sqrt{7}   を満たすとき, 次の不等式を示せ.

\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{1}{ab} < \sqrt{7}.

 

 

 

 

 

略証

a^2 < 7b^2   より a^2 \leqq 7b^2 - 1.

一般に x \in \mathbb{Z} / 7\mathbb{Z}   に対して x^2 \in \{ 0,1,2,4 \}   であるから, a^2 = 7b^2 - 1   および a^2 = 7b^2 - 2   は実現不可能.

よって a^2 \leqq 7b^2-3,   つまり a \leqq \sqrt{7b^2-3}.

ここで関数 \displaystyle f(x) = x + \frac{1}{x}   は x \geqq 1   で単調増加であるから

\displaystyle \left( \sqrt{7b^2-3} + \frac{1}{\sqrt{7b^2-3}} \right)^2 \geqq \left( a + \frac{1}{a} \right)^2.

\displaystyle 7b^2 - 1 + \frac{1}{7b^2-3} \geqq \left( a+ \frac{1}{a} \right)^2.

b   は正整数であるから \displaystyle 1 > \frac{1}{7b^2-3}   であることを用いれば

\displaystyle 7b^2 > \left( a+\frac{1}{a} \right)^2.

\displaystyle 7 > \left( \frac{a}{b}+\frac{1}{ab} \right)^2.

\displaystyle \therefore \ \ \frac{a}{b} + \frac{1}{ab} < \sqrt{7}. \ \ \ \ \Box