深遠なる不等式の世界

以下 n  は正の整数とし, 総和を \displaystyle \sum_{i=1}^{n} f(n) = f(1) + f(2) + \ldots + f(n),  総乗を \displaystyle \prod_{i=1}^{n} f(n) = f(1) \cdot f(2) \cdot \ldots \cdot f(n)  で表すこととします.

(2017年3月7日更新)

 

例題

a, b, c  が正の実数のとき, 次の不等式を示せ.

(a + b)(b + c)(c + a) \geq 8abc.

略証

相加相乗平均不等式より a + b \geq 2\sqrt{ab}, \ b + c \geq 2\sqrt{bc}, \ c + a \geq 2\sqrt{ca}  なので, 辺々かけあわせて (a + b)(b + c)(c + a) \geq 8abc. \ \ \Box

 

 

※この記事の最下部に3種類の定理を記載しました. これらをパズルチックに上手く使うことにより, 多くの問題がスルスルッと解けてしまいます. お楽しみください! 

 

 

問題

(1) a, b が正の実数のとき, 次の不等式を示せ.

\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}.

 

(2) x, y, z  が正の実数のとき, 次の不等式を示せ.

x^4 + y^4 + z^2 \geq \sqrt{8}xyz.

 

(3) a, b, c  が正の実数のとき, 次の不等式を示せ.

(a + b)(a + c) \geq 2 \sqrt{abc(a + b + c)}.

 

(4) i = 1, 2, \ldots , n  に対して a_i は正の実数で \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_i < 1  を満たすとき, 次の不等式を示せ.
\displaystyle n^{n+1} \left( \prod_{i=1}^{n}a_i \right)\left(1-\sum_{i=1}^{n}a_i \right) \leq \left( \sum_{i=1}^{n}a_i \right) \left( \prod_{i=1}^{n}(1-a_i) \right).

 

(5) a, b  は正の実数で a + b = 1  を満たすとき, 次の不等式を示せ.

\displaystyle \frac{a^2}{a + 1} + \frac{b^2}{b + 1} \geq \frac{1}{3}.
 

(6) a, b, c, x_1, x_2,... , x_5  は正の実数で a + b + c = 1,\ x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 = 1  を満たすとき, 次の不等式を示せ.

\displaystyle \prod_{i=1}^{5} (ax_i^2 + bx_i + c) \geq 1.

 

(7) x, y, z  が正の実数のとき, 次の不等式を示せ.

\displaystyle (xyz)^{\frac{1}{3}} + \frac{|x-y| + |y-z| + |z-x|}{3} \geq \frac{x + y + z}{3}.

 

(8) x, y, z  は実数で \displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2, \ \ x > 1, y > 1, z > 1  を満たすとき, 次の不等式を示せ.

\sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1}.

 

(9) i = 1, 2, ..., n  に対して \displaystyle x_i > 0, \ \sum_{i=1}^{n} x_i = 1 のとき, 次の式の最小値を求めよ.

\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left( x_i + \frac{1}{x_i} \right)^2.

 

(10) a, b, c \geq 0 のとき, 次の不等式を示せ.

(a^3 + b^3 + c^3)^4 \geq (a^4 + b^4 + c^4)^3.

 

(11) n \geq 2  とする. i = 1, 2, \ldots, n  に対して a_i \geq 0  かつ a_1 + a_2 + \ldots + a_n = 1  のとき, 次の式の最大値を求めよ:

\displaystyle \left( \sum_{i=1}^{n} i a_i \right) \left( \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{i}^2 \right).

 

(12) a, b, c > 0  のとき, 次の不等式を示せ.

\displaystyle \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}.

 

(13) x, y, z > 0  かつ \displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1  のとき, 次の不等式を示せ.

(x - 1)(y - 1)(z - 1) \geq 8.

 

 

定理1 相加相乗平均不等式

i = 1, 2, \ldots, n  に対して a_i \geq 0  のとき, 次の不等式を示し, また等号成立条件を求めよ.

\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i \geq \left( \prod_{i=1}^{n} a_i \right)^{\frac{1}{n}}.

 

定理2 Cauchy-Schwarz の不等式

i = 1, 2, \ldots, n  に対して x_i, y_i  を実数とするとき, 次の不等式を示し, また等号成立条件を求めよ.

\displaystyle \left( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} y_i^2 \right) \geq \left( \sum_{i=1}^{n} x_i y_i \right)^2.

 

定理3

i = 1, 2, \ldots, n  に対して a_i, b_i  は実数で  b_i > 0  のとき, 次の不等式を示し, また等号成立条件を求めよ.

\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i^2}{b_i} \geq \frac{(\sum_{i=1}^{n} a_i)^2}{\sum_{i=1}^{n} b_i}.

 

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