電磁気学、マクスウェル方程式。

電磁気学、すげぇー。

大学入って勉強できてほんとよかったって初めて実感できた気がする。

以下、電磁気学のすごさを延々と語りたいと思います。

と言っても大学1年の内容しか勉強してないので詳しくは語れませんが。

理系の人はこの衝撃をぜひとも共有してください。

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(ベクトル量は大文字、それ以外は小文字で書きます。)

電磁場に対する4つの基本方程式(マクスウェル方程式)は以下の通りです:

(01) ∇・E=ρ/(ε_0)

(02) ∇×E=-∂B/∂t

(03) ∇×B=(ε_0)(μ_0)(∂E./∂t)+(μ_0)j

(04) ∇・B=0

(04)式は磁束密度Bの湧き出しがないことを示しているので、ベクトルポテンシャルAを導入して

(05) B=∇×A

とすることができます。(02)(05)式に注目すれば、あるスカラーポテンシャルφが存在して

(06) E=-(∂A/∂t)-∇φ

と書けることがわかります。静電場の場合とは違って、

一般の電場はベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルの両方を使って書けるわけです。

ここで任意のスカラー関数χを用いて

(07) A’=A+∇χ, φ’=φ-(∂χ/∂t)

と変数変換すると(これをゲージ変換と言います)、

A’とφ’も全く同じEとBの表式を与えることは容易にわかります。

ポテンシャルに対する付帯条件として

(08) φ=0

(09) ∇A+(1/c^2)(∂φ/∂t)=0

を課すことができます。後者はローレンツ条件と呼ばれます。

スカラーポテンシャルφについて、(01)式とローレンツ条件(09)式から

(13) Δφ-(ε_0)(μ_0){(∂/∂t)^2}φ=-ρ/(ε_0)

となります。またベクトルポテンシャルAについても,、

(14) ΔA-(ε_0)(μ_0){(∂/∂t)^2}A=-(μ_0)j

となります。

特に真空中ではρ=0, j=0とすることができます。

(02)(03)式それぞれの両辺の回転を取る(∇を左から外積として掛ける)と

(15) ΔE=(ε_0)(μ_0){(∂/∂t)^2}E

(16) ΔB=(ε_0)(μ_0){(∂/∂t)^2}B

が導かれます。このとき(13)~(16)はすべて波動方程式であり、

いずれも波動として1/√{(ε_0)(μ_0)}の速さで伝播することがわかります!

これが光速cに等しいことは有名事実ですよね。

(光が電磁波の一種であることの一つの重要な根拠です。)

EとBが常に直交し振幅が常に比例する関係にあることも(01)~(04)式から容易に導かれます。

さて、ここからがまたすごいのです。

(17) x=(x_1, x_2, x_3, x_4)=(x, y, z, ict)

なる「4元座標」を導入します。するとψ(=E, B, A, φ)についての波動方程式は

(18) □ψ=0

と対称的に書くことができます。

ここでダランベール演算子 □=Δ-(∂/c∂t)^2 を用いました。また

(19) j=(j_1, j_2, j_3, j_4)=(j_x, j_y, j_z, icρ)

なる「4元電流」を導入すると、電気量保存則も

(20) □j=0

と対称性を持った形で書けてしまいます。

このように時間と空間座標を同等に扱う理論形式は共変形式と呼ばれます。

さらにベクトルポテンシャルAについて、

(21) A=(A_1, A_2, A_3, A_4)=(A_x, A_y, A_z, iφ/c)

なる「4元ポテンシャル」を導入すると、マクスウェル方程式はただ一つの方程式、

(22) □A_j=-(μ_0)j_j

で書けてしまうのです!

なお、ローレンツ条件(09)式についても、これらの概念を用いれば

(23) Σ[k=1,4]∂A_k/∂x_k=0

と書いてしまうことができます。

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電磁気学、あまりに美しすぎると思いませんか。

古典力学や解析力学も(数学的に)非常に美しい理論ですが、

それ以上の、何と言うか、秘められた美しさを感じてしまいます。

神が宇宙を創造したとき、すでにこのようなことが意図されていたんでしょうか。

それとも人間の自然に対する認識の仕方があまりにトリッキーなだけなのでしょうか。

いずれにしても電磁気学、すげぇー。

ってか人間ってすげぇー。

参考文献:岩波基礎物理シリーズ③「電磁気学」

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若井優也 について

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